동역학 3장 정리

게시 2024/07/30

By Hokgorny

7 분읽는 시간

동역학 3장 - Kinetics of Particles

동역학 3장에서는 질점(particle)의 Kinetics를 다룬다. 여기서 Kinetics란 움직임을 발생시키는 힘을 분석의 대상으로 삼는 운동학을 말한다.
힘을 다루므로 뉴턴 2법칙을 적용한다.
일과 에너지(운동 에너지, 포텐셜 에너지)의 개념을 다룬다.
일(Work)은 힘을 변위에 대하여 적분한 물리량이다.
충격량과 운동량(선운동량, 각운동량)을 다룬다.
충격량(Impulse)과 운동량(Momentum)은 힘을 시간에 대하여 적분한 물리량이다.
상대운동 등의 특별한 적용을 다룬다.

Introduction
- Kinematics: 동역학의 한 갈래로, 움직임에 영항을 미치는 힘을 고려하지 않고, 오직 움직임의 형태(Geometry of Motion)만을 분석의 대상으로 함
- Kinetics: 물체의 움직임을 발생시키는 원인, 즉 힘을 대상으로 한 운동학
Newtons’s Second Law
- F = ma
Equation of Motion and Solution of Problems
- 여러 힘이 작용하는 경우 Sigma F = ma
Rectilinear Motion
- Sigma F_x = ma_x
- Sigma F_y = ma_y
- Sigma F_z = ma_z
Curvilinear Motion
- Sigma F_x = ma_x
- Sigma F_y = ma_y
Work and Kinetic Energy
- 일(Work): 힘을 변위에 대하여 적분 U=INTEGRAL1->2(F dr)
- 운동량(Momentum)과 충격량(Impulse): 힘을 시간에 대하여 적분
  - 운동량: 운동하는 물체가 특정 시점에 가진 양
  - 충격량: 운동하는 물체에 특정 시간 동안 가해진 양
- 운동 에너지(Kinetic Energy): T=1/2 mv^2
- 일-에너지 관계: U_1-2 = T_2 - T_1 = delT. T_1 + U_1-2 = T_2
- 동력(Power): 기계가 단위시간당 행한 일의 양 P = F v
- 효율(Efficiency): e_m = P_output/P_input
Potential Energy
- 포텐셜 에너지(Potential Energy): 역장(Force field) 속의 어떤 물체가 특정 위치에서 갖는 스칼라 값이다. 중력, 스프링에 의해 행해진 일을 설명하기 위해 도입된 개념이다. 일-에너지 관계에 의해 설명된다.
- 중력 포텐셜 에너지: V_g = mgh = -mgR^2/r
- 탄성 포텐셜 에너지: V_e = 1/2 kx^2
- 일-에너지 관계: T_1 + V_1 + U’_1-2 = T_2 + V_2
- 보존력(Conservative force): 어떤 힘이 한 일이 경로에 무관한 경우 그 힘을 보존력이라 정의한다. 물체에 보존력만 작용하면 역학적 에너지가 보존된다. (참고, 비보존력이 작용해도 방향이 수직이면=일을 하지 않으면 역학적 에너지는 보존된다.)
- 보존장(Conservative field): 보존력이 작용하여 미치는 공간을 보존장이라 한다. 보존장에서는 총 에너지가 보존된다. -> 역학적 에너지 보존 법칙(증명)
Impulse and Momentum
- 충격량과 운동량은 힘을 시간에 대해 적분한 것이다.
Linear Impulse and Linear Momentum
- 선운동량(Linear momentum): G = mv
  - Sigma F = mv = d(mv)/dt
  - Sigma F = Gdot
- 물체에 작용한 선충격량은 선운동량의 변화량과 같다. G_1 + INTEGRAL_t1^t2(Sigma F dt) = G_2
- 선운동량의 보존: 물체에 작용하는 외력이 0일 경우 선운동량 G는 보존된다.
Angular Impulse and Angular Momentum
- 각운동량(Angular momentum): 원점 O에 대한 선운동량 mv의 모멘트
  - H_O = r X mv
  - 각운동량은 기준점(주로 원점)이 중요하다.
- 이 각운동량 H_O를 시간에 대하여 미분하면 Sigma M_O = H_Odot
- 물체에 작용한 각충격량은 각운동량의 변화량과 같다. (H_O)_1 + INTEGRAL_t1^t2(Sigma M_O dt) = (H_O)_2
- 각운동량의 보존: 물체에 작용하는 외력이 0인 경우 각운동량 H_O는 보존된다.
Special Application
Impact
- 충격량과 운동량 원리를 이용한다면, 충돌하는 두 물체들의 움직임을 이해할 수 있다.
- 충격(Impact): 두 물체가 부딪혀 짧은 시간동안 상대적으로 큰 힘이 발생하는 현상
- 충격간 에너지 손실: 충격 현상은 대체적으로 에너지 손실을 동반한다.
  - 완전 탄성 충돌: 에너지 손실 없음
  - 유리-유리
  - 강철-강철
  - 완전 소성 충돌: 에너지 손실 100%
중심-충돌 운동
상대 운동
- Kinetics도 좌표계가 고정돼있지 않은 경우에 대해서도 운동을 분석한다. 대표적으로 지구의 자전으로 인한 관찰자 좌표계의 운동이 있다.
- Kinematics와 마찬가지로 다음과 같이 표현한다. a_A = a_B + a_rel
- 주의할 점은 Sigma F != ma_rel이라는 점이다. 뉴턴 2법칙이 성립하는 가속도는 a_A(절대가속도)이다.
- 단, 위 식이 성립하는 경우도 있다. 비록 좌표계가 고정되어있지 않더라도, a_A = a_rel 이 성립하는 경우이다.대표적으로 일정한 속도 및 비회전으로 이동하는 관찰자(a_B = 0)가 있다.

출제 예상 개념

Kinematics와 Kinetics의 정의와 차이를 설명하라.
일정한 회전반경을 갖고 회전하는 물체가 있다. 각 좌표계를 통해 가속도를 표현하라.
뉴턴 좌표계(관성 좌표계)란 무엇인가?
질점 운동과 강체 운동의 근본적인 차이점은?
자유도와 구속의 개념을 설명하시오.

기계공학, 동역학