동역학 2장 정리

게시 2024/07/30 업데이트 2024/07/30

By Hokgorny

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동역학 2장 - Kinematics of Particles

동역학 2장에서는 질점(particle)의 Kinematics를 다룬다. 여기서 Kinematics란 움직임의 형태만을 분석의 대상으로 삼는 운동학을 말한다.
움직임을 관찰하는 여러 기준 좌표계(Reference Frames)를 도입한다.
물체의 움직임을 표현할 좌표계를 결정한다.
물체의 위치, 속도, 가속도를 계산한다.
기준 좌표계를 중심으로 한 각속도와 각가속도를 계산한다.

Introduction
- Kinematics: 동역학의 한 갈래로, 움직임에 영항을 미치는 힘을 고려하지 않고, 오직 움직임의 형태(Geometry of Motion)만을 분석의 대상으로 함
- Kinetics: 물체의 움직임을 발생시키는 원인, 즉 힘을 대상으로 한 운동학
- 질점 운동: 운동 반경에 비해 크기를 무시할 수 있는 물체를 하나의 점으로 가정한다.
- 좌표계의 선택: 질점의 위치는 좌표계를 통해 나타낼 수 있다.
Rectilinear Motion
- 직선 운동 또는 병진 운동에 대해 다룬다.
- 속도
  - 평균 속도는 변위를 시간으로 나눈 것이다. (v_avg=dels/delt)
  - 순간 속도는 delt가 0에 가까워질 때(instantaneous)의 속도를 의미하며, v=ds/dt의 미분으로 나타내진다.
- 가속도
  - 평균 가속도는 속도의 변화를 시간으로 나눈 것이다. (a_avg=delv/delt)
  - 순간 가속도는 delt가 0에 가까워질 때(instantaneous)의 가속도를 의미하며, a=dv/dt=d^2s/dt^2의 미분을 나타내진다.
- 두 미분식을 적절히 정리하면 아래의 식을 얻는다.
  - v dv = a ds, sdot dsdot = sddot ds
- 적분 관계: 미분식을 반대로 적분으로 나타낼 수 있다. (그래프의 면적)
Plane Curvilinear Motion
- 2.에서는 병진운동, 즉 1차원 운동을 다뤘다. 3.에서는 2차원 평면에 대한 곡선 운동을 다룬다.
- 이제 속도와 가속도는 완전히 벡터의 개념으로 다루어야 한다.
Rectangular Coordinates(x-y)
- 직교좌표계의 x, y좌표를 통해 곡선 운동의 변위, 속도, 가속도를 표현한다.
- 벡터 표현법
  - r = xi + yj
  - v = rdot = xdoti + ydotj
  - a = vdot = rddot = xddoti + yddotj
Normal and Tangential Coordinates(n-t)
- 물체의 접선방향(t)과 곡선의 중심방향(n)의 좌표계를 통해 운동을 기술한다.
- 이 좌표계를 사용할 경우 속도를 하나의 성분으로 표현할 수 있다.
  - v = ve_t = \rho betadot e_t (beta는 각변위)
- 가속도는 조금 특이하게 표현된다.
  - a = dv/dt = d(ve_t)/dt = v e_tdot + vdot e_t
  - de_t/dbeta = e_n에서 양변을 dt로 나누고, dbeta를 곱한 뒤 적분하면 e_tdot = betadot e_n
  - 따라서 a = v^2/rho e_n + vdot e_t
    - v^2/rho 가 구심가속도의 크기, 접선가속도의 크기는 vdot
- 회전 운동: 곡선 운동의 한 갈래로, 곡선의 반경 rho가 r로 고정되고, 각변위 beta가 theta로 표현되는 운동이다.
  - v = r thetadot
  - a_n = v^2/r
  - a_t = vdot = r thetaddot
Polar Coordinates(r-theta)
- 극좌표계란 고정점에 대한 radial distance r과 angular measurement theta로 나타내는 좌표계이다.
- e_r과 e_theta의 관계
  - de_r/dtheta = e_theta, de_theta/dtheta = -e_r
  - e_rdot = thetadot e_theta, e_thetadot = -thetadot e_r
- 속도 v = rdot e_r + r thetadot e_theta
- 가속도 a = (rddot - rthetadot^2)e_r + (r thetaddot + 2 rdot thetadot)e_theta
Space Curvilinear Motion
- 앞선 2차원 운동(Plane motion)을 3차원 운동(Space motion)으로 확장한 것으로, 축 하나를 추가해서 유도하면 된다.
- 직교좌표계: z축 추가
- 원통좌표계: z축 추가
- 구면좌표계: phi축 추가
Relative Motion(Translating Axes)
- 앞서 설명한 부분에선 고정된 좌표계에 대한 물체의 운동을 기술하였다. 이러한 경우의 속도, 가속도, 변위는 절대-로 표현한다.
- 이번 장에서는 움직이는 좌표계에 대한 물체의 운동을 기술하도록 한다.
- 뉴턴 좌표계: 뉴턴 3법칙이 적용되는 좌표계이다. 관성 좌표계라고도 한다. 뉴턴 1법칙이 만족되며, 즉 외부 힘의 작용이 없으면 입자의 운동량이 보존되는 좌표계이다.
- 비관성 좌표계: 기준 좌표계가 가속도 운동을 하고 있는 좌표계이다. 즉 비관성 좌표계 안의 물체의 경우에는 아무런 힘을 받지 않더라도 물체는 가속도를 가지므로 뉴턴 법칙에 어긋난다. 이러한 경우 뉴턴 법칙의 예외가 없도록 하기 위해 관성력이라는 가상의 힘을 도입한다.
- 벡터 표현법
  - 물체 A의 물리량을 고정점 O에서 측정한 것(절대-)과 움직이는 점 B에서 측정한 것(상대-)의 관계를 벡터 합으로 나타낼 수 있다.
  - r_A = r_B + r_A/B, 속도와 가속도도 동일(여기서 A/B는 B에서 측정한 A의 물리량을 의미한다)
Constrained Motion of Connected Particles
- 자유도: 하나의 system(여러 물체 가능)의 움직임을 표현하는데 필요한 변수의 개수. 한개의 변수만 필요할 경우 자유도가 1이다.
- 구속(Constraint): 두 물체가 줄 등으로 연결된 경우, 이들은 하나의 움직임을 공유한다. 이를 구속이라 하며, 구속이 있는 경우 자유도가 낮아질 수 있다.

출제 예상 개념

Kinematics와 Kinetics의 정의와 차이를 설명하라.
일정한 회전반경을 갖고 회전하는 물체가 있다. 각 좌표계를 통해 가속도를 표현하라.
뉴턴 좌표계(관성 좌표계)란 무엇인가?
질점 운동과 강체 운동의 근본적인 차이점은?
자유도와 구속의 개념을 설명하시오.

기계공학, 동역학